Univariate Calculus via Nonstandard Analysis: The Infinitesimal Approach

Catatan teori dan ringkasan pendekatan Kalkulus Univariat dengan Analisis Non-Standar (Infinitesimal). Kerangka kerja ini mengadopsi formalisasi modern dari Abraham Robinson dan pendekatan pedagogis H. Jerome Keisler (Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach).

Pendekatan infinitesimal memberikan intuisi geometri dan diferensial yang sangat alami (seperti yang mula-mula digagas oleh Leibniz dan Newton) tanpa mengorbankan ketatnya pembuktian matematika (rigor).

---

1. Aksioma Sistem Bilangan Hiperreal $\mathbb{R}^\ast$

Sistem bilangan hiperreal $\mathbb{R}^\ast$ memperluas sistem bilangan riil standar $\mathbb{R}$ dengan menambahkan kuantitas infinitesimal dan kuantitas tak terhingga (infinite):

1. Prinsip Ekstensi: $\mathbb{R} \subset \mathbb{R}^\ast$. Setiap bilangan riil adalah bilangan hiperreal.

2. Keterurutan & Aljabar (Ordered Field): $\mathbb{R}^\ast$ adalah lapangan terurut (ordered field) yang memenuhi seluruh aksioma aljabar biasa seperti komutatif, asosiatif, distributif, dan relasi transitif.

3. Elemen Infinitesimal: Terdapat elemen infinitesimal $\varepsilon \in \mathbb{R}^\ast, \varepsilon > 0$ sedemikian sehingga:

   $\varepsilon < r \quad \forall r \in \mathbb{R}^+$

4. Elemen Tak Terhingga (Infinite): Kebalikan dari infinitesimal tak nol, yaitu $H = \frac{1}{\varepsilon}$, bernilai lebih besar dari semua bilangan riil:

   $H > r \quad \forall r \in \mathbb{R}$

---

2. Klasifikasi Bilangan Hiperreal $x \in \mathbb{R}^\ast$

Setiap elemen $x$ dalam $\mathbb{R}^\ast$ digolongkan ke dalam tiga kategori mendasar:

Kategori	Definisi Formal	Contoh Representatif
Infinitesimal ($\approx 0$)	$\vert x \vert < r$ untuk semua $r \in \mathbb{R}^+$ (termasuk $x=0$)	$\varepsilon, \; \varepsilon^2, \; \frac{1}{H}, \; \sqrt{\varepsilon}$
Hingga (Finite)	$\vert x \vert < r$ untuk suatu $r \in \mathbb{R}^+$	$5, \; \pi, \; 3 + 2\varepsilon, \; \frac{4H+1}{2H-3}$
Tak Terhingga (Infinite)	$\vert x \vert > r$ untuk semua $r \in \mathbb{R}^+$	$H, \; H^2, \; \frac{1}{\varepsilon}, \; \sqrt{H}$

Notasi Kedekatan Infinitesimal ($\approx$)

Dua bilangan hiperreal $a, b \in \mathbb{R}^\ast$ dikatakan infinitesimally close ($a \approx b$) jika selisih keduanya merupakan infinitesimal:

$a \approx b \iff a - b \text{ adalah infinitesimal}$

---

3. Operator Standard Part $\operatorname{st}(\cdot)$

Salah satu pilar terpenting dalam analisis non-standar adalah Teorema Bagian Standar (Standard Part Principle):

Teorema: Untuk setiap bilangan hiperreal hingga $x \in \mathbb{R}^\ast$, terdapat tepat satu bilangan riil standar $r \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $x \approx r$. Bilangan riil unik ini dilambangkan sebagai $\operatorname{st}(x)$.

$\operatorname{st}(x) = r \quad \iff \quad x \approx r$

Sifat-Sifat Aljabar Operator $\operatorname{st}$

Misalkan $a, b \in \mathbb{R}^\ast$ adalah bilangan hiperreal hingga. Maka berlaku:

• Penjumlahan: $\operatorname{st}(a + b) = \operatorname{st}(a) + \operatorname{st}(b)$
• Pengurangan: $\operatorname{st}(a - b) = \operatorname{st}(a) - \operatorname{st}(b)$
• Perkalian: $\operatorname{st}(a \cdot b) = \operatorname{st}(a) \cdot \operatorname{st}(b)$
• Pembagian: $\operatorname{st}\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{\operatorname{st}(a)}{\operatorname{st}(b)}$ (asalkan $\operatorname{st}(b) \neq 0$)
• Akar / Pangkat: $\operatorname{st}(\sqrt[n]{a}) = \sqrt[n]{\operatorname{st}(a)}$ (untuk $a > 0, n \in \mathbb{N}$)

---

4. Definisi Kontinuitas dan Turunan

Dengan menggunakan operator $\operatorname{st}$, kita dapat mendefinisikan konsep kalkulus sentral tanpa perlu menggunakan limit $\varepsilon$-$\delta$ yang rumit:

A. Kontinuitas Fungsi

Definisi: Suatu fungsi riil $f$ kontinu di titik $c \in \mathbb{R}$ jika untuk setiap perubahan infinitesimal $\Delta x \approx 0$:

$f(c + \Delta x) \approx f(c) \quad \iff \quad \operatorname{st}(f(c + \Delta x)) = f(c)$

B. Turunan (Derivative)

Definisi: Misalkan $y = f(x)$. Turunan $f'(x)$ di titik $x \in \mathbb{R}$ didefinisikan sebagai bagian standar dari rasio diferensial $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ untuk sembarang $\Delta x \approx 0$ ($\Delta x \neq 0$):

$f'(x) = \operatorname{st}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right) = \operatorname{st}\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)$

---

5. Contoh Komputasi Turunan dengan Infinitesimal

Mari kita buktikan turunan dari fungsi $f(x) = x^2$ menggunakan metode infinitesimal:

1. Ambil kenaikan infinitesimal $\Delta x \neq 0, \Delta x \approx 0$.

2. Hitung selisih $\Delta y$:

   $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x)^2 - x^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$

3. Bentuk rasio diferensial:

   $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x$

4. Ambil Standard Part ($\operatorname{st}$):

   $f'(x) = \operatorname{st}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right) = \operatorname{st}(2x + \Delta x) = \operatorname{st}(2x) + \operatorname{st}(\Delta x) = 2x + 0 = 2x$

Hasilnya diperoleh secara langsung dan sangat intuitif, memperjelas mengapa suku $(\Delta x)^2$ dapat diabaikan secara formal dan valid secara matematika.