Motivasi
Rumus volume dan luas Bola lingkaran adalah hal yang sudah kita pelajari sejak kelas 6 SD. Pertanyaannya adalah bagaimana rumus tersebut muncul?
Prasyarat
Kalkulus, rumus volume fungsi yang diputer, luas permukaan fungsi yang diputar.
Perhatikan apa yang terjadi jika kita memutar fungsi y = r 2 − x 2 y=\sqrt{r^2-x^2} y = r 2 − x 2
V = π ∫ − r r ( r 2 − x 2 ) 2 d x = π ∫ − r r r 2 − x 2 d x = π [ r 2 x − 1 3 x 3 ] − r r = π ( ( r 3 − 1 3 r 3 ) − ( − r 3 + 1 3 ( − r ) 3 ) ) = 4 3 π r 3 \begin{align*}
V &= \pi\int_{-r}^{r}\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\;dx \\
&= \pi\int_{-r}^{r}{r^2-x^2}\;dx \\
&= \pi\left[r^2x-\frac13 x^3\right]_{-r}^r\\
&= \pi\left(\left(r^3-\frac13 r^3\right)-\left(-r^3+\frac13(-r)^3\right)\right) \\
&= \frac43 \pi r^3
\end{align*} V = π ∫ − r r ( r 2 − x 2 ) 2 d x = π ∫ − r r r 2 − x 2 d x = π [ r 2 x − 3 1 x 3 ] − r r = π ( ( r 3 − 3 1 r 3 ) − ( − r 3 + 3 1 ( − r ) 3 ) ) = 3 4 π r 3 Dan begitulah cara kita mendapat volume bola. Bagaimana dengan luas permukaan bola?
Luas Permukaan Bola
Ingat bahwa rumus luas permukaan adalah sebagai berikut:
∫ a b 2 π y 1 + ( d y d x ) 2 d x \int_{a}^{b}2\pi y\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\;dx ∫ a b 2 π y 1 + ( d x d y ) 2 d x
Langsung saja kita masukkan apa yang kita ketahui:
L P = ∫ − r r 2 π r 2 − x 2 1 + ( d d x r 2 − x 2 ) 2 d x = ∫ − r r 2 π r 2 − x 2 1 + ( − x r 2 − x 2 ) 2 d x = ∫ − r r 2 π r 2 − x 2 1 + x 2 r 2 − x 2 d x = ∫ − r r 2 π r 2 − x 2 r 2 r 2 − x 2 d x = ∫ − r r 2 π r d x = 2 π r ∫ − r r d x = 2 π r [ x ] − r r = 2 π r ( r − ( − r ) ) = 4 π r 2 \begin{align*}
LP&=\int_{-r}^{r} 2\pi \sqrt{r^2-x^2} \sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx}\sqrt{r^2-x^2}\right)^2} \;dx \\
&= \int_{-r}^{r} 2\pi \sqrt{r^2-x^2} \sqrt{1 + \left(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2} \;dx \\
&= \int_{-r}^{r} 2\pi \sqrt{r^2-x^2} \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2-x^2}} \;dx \\
&= \int_{-r}^{r} 2\pi \sqrt{r^2-x^2} \sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}} \;dx \\
&= \int_{-r}^{r} 2\pi r \;dx \\
&= 2\pi r \int_{-r}^{r} \;dx \\
&= 2\pi r \left[x\right]_{-r}^{r} \\
&= 2\pi r (r - (-r)) \\
&= 4\pi r^2
\end{align*} L P = ∫ − r r 2 π r 2 − x 2 1 + ( d x d r 2 − x 2 ) 2 d x = ∫ − r r 2 π r 2 − x 2 1 + ( − r 2 − x 2 x ) 2 d x = ∫ − r r 2 π r 2 − x 2 1 + r 2 − x 2 x 2 d x = ∫ − r r 2 π r 2 − x 2 r 2 − x 2 r 2 d x = ∫ − r r 2 π r d x = 2 π r ∫ − r r d x = 2 π r [ x ] − r r = 2 π r ( r − ( − r )) = 4 π r 2 Begitulah penurunan rumus luas permukaan bola. Semoga bisa membantu kamu ya~