Motivasi
Rumus luas dan keliling lingkaran adalah hal yang sudah kita pelajari sejak kelas 6 SD. Pertanyaannya adalah bagaimana rumus tersebut muncul?
Prasyarat
Kalkulus, rumus luas dibawah semua kurva fungsi, dan rumus panjang kurva.
Luas
Perhatikan bahwa lingkaran dengan titik pusat 0 dengan jari-jari r fungsinya adalah:
x 2 + y 2 = r 2 x^2+y^2=r^2 x 2 + y 2 = r 2
Ingat juga bahwa rumus luas dibawah dengan suatu kurva dengan suatu batas tertentu:
∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\;dx ∫ a b f ( x ) d x
Ingat bahwa tujuan kita adalah untuk mencari luas lingkaran. Disini kita bisa memanipulasi persamaan lingkaran menjadi:
y = r 2 − x 2 y=\sqrt{r^2-x^2} y = r 2 − x 2
Kemudian kita bisa langsung mengintegralkan dan mengkalikan dengan 2 integral itu. Kemudian, kita bisa memasukkan batas integralnya juga, yaitu -r dan r karena batas pada x nya adalah -r dan r.
2 ∫ − r r r 2 − x 2 d x 2\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;dx 2 ∫ − r r r 2 − x 2 d x
Mari selesaikan integral bagian dalam terlebih dahulu:
∫ − r r r 2 − x 2 d x = ∫ − π 2 π 2 r 2 − ( r sin ( θ ) ) 2 ⋅ r cos ( θ ) d θ = ∫ − π 2 π 2 r 2 − r 2 sin 2 ( θ ) ⋅ r cos ( θ ) d θ = ∫ − π 2 π 2 r 2 cos 2 ( θ ) d θ = r 2 ∫ − π 2 π 2 cos 2 ( θ ) d θ . \begin{align*}
\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;dx &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^2 - (r\sin(\theta))^2} \cdot r\cos(\theta)\,d\theta \\
&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^2 - r^2\sin^2(\theta)} \cdot r\cos(\theta)\,d\theta \\
&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cos^2(\theta)\,d\theta \\
&= r^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta)\,d\theta.
\end{align*} ∫ − r r r 2 − x 2 d x = ∫ − 2 π 2 π r 2 − ( r sin ( θ ) ) 2 ⋅ r cos ( θ ) d θ = ∫ − 2 π 2 π r 2 − r 2 sin 2 ( θ ) ⋅ r cos ( θ ) d θ = ∫ − 2 π 2 π r 2 cos 2 ( θ ) d θ = r 2 ∫ − 2 π 2 π cos 2 ( θ ) d θ . Dengan double angle formula cos 2 ( θ ) = 1 + cos ( 2 θ ) 2 \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} cos 2 ( θ ) = 2 1 + c o s ( 2 θ )
r 2 ∫ − π 2 π 2 cos 2 ( θ ) d θ = r 2 ∫ − π 2 π 2 1 + cos ( 2 θ ) 2 d θ = r 2 [ 1 2 θ + 1 4 sin ( 2 θ ) ] − π 2 π 2 = r 2 ( π 4 + 1 4 sin ( π ) − ( − π 4 − 1 4 sin ( − π ) ) ) = r 2 ( π 4 + π 4 ) = π r 2 2 . \begin{align*}
r^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta)\,d\theta &= r^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\,d\theta \\
&= r^2 \left[\frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin(2\theta)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= r^2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\sin(\pi) - \left(-\frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin(-\pi)\right)\right) \\
&= r^2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) \\
&= \frac{\pi r^2}{2}.
\end{align*} r 2 ∫ − 2 π 2 π cos 2 ( θ ) d θ = r 2 ∫ − 2 π 2 π 2 1 + cos ( 2 θ ) d θ = r 2 [ 2 1 θ + 4 1 sin ( 2 θ ) ] − 2 π 2 π = r 2 ( 4 π + 4 1 sin ( π ) − ( − 4 π − 4 1 sin ( − π ) ) ) = r 2 ( 4 π + 4 π ) = 2 π r 2 . Jadi, ∫ − r r r 2 − x 2 d x = π r 2 2 \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;dx = \frac{\pi r^2}{2} ∫ − r r r 2 − x 2 d x = 2 π r 2
Ingat bahwa integral awalnya adalah:
2 ∫ − r r r 2 − x 2 d x = 2 ⋅ π r 2 2 = π r 2 2\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;dx=2\cdot\frac{\pi r^2}{2}=\pi r^2 2 ∫ − r r r 2 − x 2 d x = 2 ⋅ 2 π r 2 = π r 2
Jadi luas lingkaran adalah π r 2 \pi r^2 π r 2
Keliling
Ingat rumus panjang kurva di kalkulus diberikan dengan rumus berikut yang diturunkan dari rumus pythagoras.
x 2 + y 2 = r 2 2 x d x + 2 y d y = 2 r d r x d x + y d y = r d r ∫ 1 + ( d y d x ) 2 d x = ∫ d r S = ∫ 1 + ( d y d x ) 2 d x \begin{align*}
x^2 + y^2 &= r^2 \\
2x\,dx + 2y\,dy &= 2r\,dr \\
x\,dx + y\,dy &= r\,dr \\
\int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \,dx &= \int dr \\
S &= \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \,dx
\end{align*} x 2 + y 2 2 x d x + 2 y d y x d x + y d y ∫ 1 + ( d x d y ) 2 d x S = r 2 = 2 r d r = r d r = ∫ d r = ∫ 1 + ( d x d y ) 2 d x Dengan mengingat bahwa kita inngin mencari keliling lingkaran dan fungsi yang kita gunakan adalah y = r 2 − x 2 y=\sqrt{r^2-x^2} y = r 2 − x 2
S = ∫ − r r 1 + ( d y d x ) 2 d x = ∫ − r r 1 + ( d d x ( r 2 − x 2 ) ) 2 d x = ∫ − r r 1 + ( d d x ( ( r 2 − x 2 ) 1 / 2 ) ) 2 d x = ∫ − r r 1 + ( − x ( r 2 − x 2 ) 1 / 2 ) 2 d x = ∫ − r r 1 + x 2 r 2 − x 2 d x = ∫ − r r r 2 − x 2 + x 2 r 2 − x 2 d x = ∫ − r r r 2 r 2 − x 2 d x = ∫ − r r r r 2 − x 2 d x = r ∫ − r r 1 1 − ( x r ) 2 d x = r arcsin ( x r ) ∣ − r r = r [ arcsin ( r r ) − arcsin ( − r r ) ] = r ( π − ( − π ) ) = r ( 2 π ) = 2 π r \begin{align*}
S &= \int_{-r}^r \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\;dx\\
&= \int_{-r}^r \sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx}\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)\right)^2}\;dx\\
&= \int_{-r}^r \sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx}\left((r^2-x^2)^{1/2}\right)\right)^2}\;dx\\
&= \int_{-r}^r \sqrt{1 + \left(\frac{-x}{(r^2-x^2)^{1/2}}\right)^2}\;dx\\
&= \int_{-r}^r \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2-x^2}}\;dx\\
&= \int_{-r}^r \sqrt{\frac{r^2-x^2 + x^2}{r^2-x^2}}\;dx\\
&= \int_{-r}^r \sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}\;dx\\
&= \int_{-r}^r \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\;dx\\
&= r\int_{-r}^r \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}}\;dx\\
&= r\arcsin\left(\frac{x}{r}\right)\bigg|_{-r}^r\\
&= r\left[\arcsin\left(\frac{r}{r}\right) - \arcsin\left(\frac{-r}{r}\right)\right]\\
&= r(\pi - (-\pi))\\
&= r(2\pi)\\
&= 2\pi r
\end{align*} S = ∫ − r r 1 + ( d x d y ) 2 d x = ∫ − r r 1 + ( d x d ( r 2 − x 2 ) ) 2 d x = ∫ − r r 1 + ( d x d ( ( r 2 − x 2 ) 1/2 ) ) 2 d x = ∫ − r r 1 + ( ( r 2 − x 2 ) 1/2 − x ) 2 d x = ∫ − r r 1 + r 2 − x 2 x 2 d x = ∫ − r r r 2 − x 2 r 2 − x 2 + x 2 d x = ∫ − r r r 2 − x 2 r 2 d x = ∫ − r r r 2 − x 2 r d x = r ∫ − r r 1 − ( r x ) 2 1 d x = r arcsin ( r x ) − r r = r [ arcsin ( r r ) − arcsin ( r − r ) ] = r ( π − ( − π )) = r ( 2 π ) = 2 π r Terbukti bahwa keliling lingkaran adalah 2 π r 2\pi r 2 π r