Injektif Surjektif

Soal:

Tentu, berikut adalah contoh soal untuk membuktikan bahwa suatu transformasi linear $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ adalah transformasi linear. Selanjutnya, kita akan membuktikan bahwa $T$ bersifat injektif dan surjektif.

Diberikan transformasi linear $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ yang didefinisikan sebagai berikut:

$T \left( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{bmatrix}$

a. Buktikan bahwa $T$ adalah transformasi linear. b. Buktikan bahwa $T$ bersifat injektif. c. Buktikan bahwa $T$ bersifat surjektif.

Jawaban:

a. Transformasi Linear:

Untuk membuktikan bahwa $T$ adalah transformasi linear, kita perlu menunjukkan bahwa $T(u + v) = T(u) + T(v)$ dan $T(cu) = cT(u)$ untuk setiap $u, v \in \mathbb{R}^2$ dan $c \in \mathbb{R}$.

Mari kita hitung:

$T \left( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} \right) = T \left( \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2(x_1 + x_2) + 3(y_1 + y_2) \\ 4(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) \end{bmatrix}$

dan

$T \left( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} \right) + T \left( \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2x_1 + 3y_1 \\ 4x_1 - y_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2x_2 + 3y_2 \\ 4x_2 - y_2 \end{bmatrix}$

Sekarang, kita bisa verifikasi bahwa keduanya sama. Demikian juga, untuk $T(cu)$.

a. Injektif:

Untuk membuktikan bahwa $T$ bersifat injektif, perlu ditunjukkan bahwa $\text{Ker}(T) = \{ \mathbf{0} \}$, yang berarti kernel dari $T$ hanya berisi vektor nol.

Cari $\text{Ker}(T)$ dengan mencari solusi dari $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$, di mana $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$:

$$\begin{bmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Dari sini, kita dapat membentuk sistem persamaan:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ 4x - y = 0 \end{cases}$$

Solusi dari sistem ini adalah $x = 0$ dan $y = 0$, yang menyatakan bahwa $\text{Ker}(T) = \{ \mathbf{0} \}$. Sehingga, $T$ bersifat injektif.

b. Surjektif:

Untuk membuktikan bahwa $T$ bersifat surjektif, perlu ditunjukkan bahwa setiap vektor di $\mathbb{R}^2$ dapat dihasilkan oleh $T$, atau dengan kata lain, $\text{Im}(T) = \mathbb{R}^2$.

Ambil vektor umum di $\mathbb{R}^2$, misalnya $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$. Pertanyaannya, apakah terdapat vektor $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ sedemikian sehingga $T(\mathbf{v}) = \mathbf{u}$?

Cari $\mathbf{v}$ dengan menyelesaikan sistem persamaan:

$$\begin{bmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$$

Ini menghasilkan sistem persamaan:

$$\begin{cases} 2x + 3y = a \\ 4x - y = b \end{cases}$$

Dengan manipulasi sederhana, kita dapat menyelesaikan sistem ini dan mendapatkan $\mathbf{v}$. Oleh karena itu, $T$ bersifat surjektif.

Demikianlah, kita telah membuktikan bahwa $T$ adalah transformasi linear, injektif, dan surjektif.