Volume dan Luas Permukaan Bola

Motivasi

Rumus volume dan luas Bola lingkaran adalah hal yang sudah kita pelajari sejak kelas 6 SD. Pertanyaannya adalah bagaimana rumus tersebut muncul?

Prasyarat

Kalkulus, rumus volume fungsi yang diputer, luas permukaan fungsi yang diputar.

Perhatikan apa yang terjadi jika kita memutar fungsi \(y=\sqrt{r^2-x^2}\) menurut sumbu x. Perhatikan bahwa kita mendapatkan sebuah bola bukan? Kita hanya tinggal memasukkannya ke rumus volume fungsi yang diputar.

\[\begin{align*} V &= \pi\int_{-r}^{r}\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\;dx \\ &= \pi\int_{-r}^{r}{r^2-x^2}\;dx \\ &= \pi\left[r^2x-\frac13 x^3\right]_{-r}^r\\ &= \pi\left(\left(r^3-\frac13 r^3\right)-\left(-r^3+\frac13(-r)^3\right)\right) \\ &= \frac43 \pi r^3 \end{align*}\]

Dan begitulah cara kita mendapat volume bola. Bagaimana dengan luas permukaan bola?

Luas Permukaan Bola

Ingat bahwa rumus luas permukaan adalah sebagai berikut:

\[\int_{a}^{b}2\pi y\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\;dx\]

Langsung saja kita masukkan apa yang kita ketahui:

\[\begin{align*} LP&=\int_{-r}^{r} 2\pi \sqrt{r^2-x^2} \sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx}\sqrt{r^2-x^2}\right)^2} \;dx \\ &= \int_{-r}^{r} 2\pi \sqrt{r^2-x^2} \sqrt{1 + \left(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)^2} \;dx \\ &= \int_{-r}^{r} 2\pi \sqrt{r^2-x^2} \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2-x^2}} \;dx \\ &= \int_{-r}^{r} 2\pi \sqrt{r^2-x^2} \sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}} \;dx \\ &= \int_{-r}^{r} 2\pi r \;dx \\ &= 2\pi r \int_{-r}^{r} \;dx \\ &= 2\pi r \left[x\right]_{-r}^{r} \\ &= 2\pi r (r - (-r)) \\ &= 4\pi r^2 \end{align*}\]

Begitulah penurunan rumus luas permukaan bola. Semoga bisa membantu kamu ya~