Ruang Vektor Umum: Bagian 3

Prasyarat

Sebelum kamu membaca blog ini, diharapkan kamu mengerti tentang linear independen, dan span.

Ruang Baris, Kolom, dan Null

Diberikan matriks $A$ dengan ordo $m\times n$, dimmana baris A didefinisikan sebagai vektor-vektor yang diambil dari baris pada matriks A dan kolom A didefinisikan sebagai vektor-vektor yang diambil dari kolom pada matriks A.

Ruang Baris

Row(A) yang disebut sebagai ruang baris A didefinisikan sebagai:

\[\text{Span}({\vec{r_1}, \vec{r_2}, \ldots, \vec{r_m}})\]

Dimana $\vec{r_1}, \vec{r_2}, \ldots, \vec{r_m}$ adalah vektor baris-baris dari matriks A. Secara sederhana dapat dikatakan bahwa Row(A) merupakan himpunan semua kombinasi linier baris-baris A.

Ruang Kolom

Pada Lain sisi, Col(A) yang disebut sebagai ruang kolom A didefinisikan:

\[\text{Span}({\vec{c_1}, \vec{c_2}, \ldots, \vec{c_n}})\]

Dimana $\vec{c_1}, \vec{c_2}, \ldots, \vec{c_n}$ adalah vektor kolom-kolom dari matriks A. Secara sederhana dapat dikatakan bahwa Col(A) merupakan Himpunan semua kombinasi linier kolom-kolom A.

Mengulang kembali Span

Ingat bahwa by definition:

\[\text{Span}(\{\vec{c_1}, \vec{c_2}, \ldots, \vec{c_n}\}) = \{(a_1\vec{r_1} + a_2\vec{r_2} + \ldots + a_n\vec{r_n}) \; | \; a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\}\]

Atau dalam bahasa sehari-hari berati vektor-vektor yang dihasikan dari kombinasi linear vektor-vektor span.

Ruang Null

Terakhir, ruang null dapat dituliskan sebagai Null(A) yang berarti semua penyelesaian spl homogen $A\vec{x}=\vec{0}$

Pengaruh OBE

3 hal yang perlu diingat tentang pengaruh OBE terhadap ruang baris dan ruang kolom adalah:

1. Ruang baris tidak berubah oleh OBE
2. Ruang kolom berubah oleh OBE. Tetapi, perlu diingat bahwa perubahan terjadi hanya karena operasi tukar baris
3. Ruang null *tidak berubah oleh OBE karena tidak merubah penyelesaian SPL

Apa maksudnya? Maksudnya adalah OBE dapat merubah atau tidak merubah vektor yang bisa di-_generate_ oleh vektor-vektor pada baris atau kolom.

Contoh

Misalkan suatu matriks:

\[A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

Kita coba lakukan OBE:

\[A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]

Perhatikan bahwa untuk $A_1$:

\[Col(A_1) = \left\{ \begin{bmatrix} a\\ b\\ 0 \end{bmatrix} : a, b \in \mathbb{R} \right\}\] \[Row(A_1) = \left\{ \begin{bmatrix} a & b & 0 \end{bmatrix} : a, b \in \mathbb{R} \right\}\]

Untuk $A_2$ dimana diberikan OBE tukar baris:

\[Col(A_2) = \left\{ \begin{bmatrix} a\\ 0\\ b \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}\] \[Row(A_2) = \left\{ \begin{bmatrix} a & b & 0 \end{bmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}\]

Buktikanlah untuk OBE lain yaitu perkalian dengan suatu skalar maupun perkalian skalar yang dijumlahkan dengan baris lain. Selain itu, cobalah buktikan bahwa OBE tidak merubah ruang null. Caranya adalah dengan mengecek apakah OBE dapat tetap menjadi penyelesaian SPL $A\vec{x}=\vec{0}$

Pengaruh Terhadap Dependensi Linier

Misalkan ketiga matriks berikut ini:

\[B_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 5 & 50 & 0 \\ 1 & 10 & 0 \\ \end{bmatrix} \;\;\; B_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 10 & 100 & 0 \\ 1 & 10 & 0 \\ \end{bmatrix} \;\;\; B_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 5 & 50 & 6 \\ 1 & 10 & 0 \\ \end{bmatrix}\]

Perhatikan bahwa $B_2$ dan $B_3$ merupakan hasil OBE dari $B_1$. Selain itu perhatikan bahwa:

• Pada setiap matriks berlaku: $c_2 = 5 c_3$

• {$c_1, c_3$} bebas linier

• {$c_2, c_3$} bebas linier

Perhatikan bahwa bebas linier (linearly independent vectors) berarti $k_1, k_2, \ldots, k_n = 0$ merupakan satu-satunya solusi dari \(k_1\vec{v_1}, k_2\vec{v_2}, \ldots, k_n\vec{v_n} = \vec{0}\). Dari contoh $B_1$ dan $B_2$ terlihat jelas bahwa {$c_1, c_3$} dan {$c_2, c_3$} bebas linier. Tetapi cobalah buktikan untuk {$c_2, c_3$} pada $B_3$. Apakah bebas linier juga?