Luas dan Keliling Lingkaran

Motivasi

Rumus luas dan keliling lingkaran adalah hal yang sudah kita pelajari sejak kelas 6 SD. Pertanyaannya adalah bagaimana rumus tersebut muncul?

Prasyarat

Kalkulus, rumus luas dibawah semua kurva fungsi, dan rumus panjang kurva.

Luas

Perhatikan bahwa lingkaran dengan titik pusat 0 dengan jari-jari r fungsinya adalah:

\[x^2+y^2=r^2\]

Ingat juga bahwa rumus luas dibawah dengan suatu kurva dengan suatu batas tertentu:

\[\int_{a}^{b}f(x)\;dx\]

Ingat bahwa tujuan kita adalah untuk mencari luas lingkaran. Disini kita bisa memanipulasi persamaan lingkaran menjadi:

\[y=\sqrt{r^2-x^2}\]

Kemudian kita bisa langsung mengintegralkan dan mengkalikan dengan 2 integral itu. Kemudian, kita bisa memasukkan batas integralnya juga, yaitu -r dan r karena batas pada x nya adalah -r dan r.

\[2\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;dx\]

Mari selesaikan integral bagian dalam terlebih dahulu:

\[\begin{align*} \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;dx &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^2 - (r\sin(\theta))^2} \cdot r\cos(\theta)\,d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^2 - r^2\sin^2(\theta)} \cdot r\cos(\theta)\,d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cos^2(\theta)\,d\theta \\ &= r^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta)\,d\theta. \end{align*}\]

Dengan double angle formula $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$:

\[\begin{align*} r^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta)\,d\theta &= r^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\,d\theta \\ &= r^2 \left[\frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin(2\theta)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= r^2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\sin(\pi) - \left(-\frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin(-\pi)\right)\right) \\ &= r^2 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) \\ &= \frac{\pi r^2}{2}. \end{align*}\]

Jadi, $\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;dx = \frac{\pi r^2}{2}$.

Ingat bahwa integral awalnya adalah:

\[2\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;dx=2\cdot\frac{\pi r^2}{2}=\pi r^2\]

Jadi luas lingkaran adalah $\pi r^2$.

Keliling

Ingat rumus panjang kurva di kalkulus diberikan dengan rumus berikut yang diturunkan dari rumus pythagoras.

\[\begin{align*} x^2 + y^2 &= r^2 \\ 2x\,dx + 2y\,dy &= 2r\,dr \\ x\,dx + y\,dy &= r\,dr \\ \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \,dx &= \int dr \\ S &= \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \,dx \end{align*}\]

Dengan mengingat bahwa kita inngin mencari keliling lingkaran dan fungsi yang kita gunakan adalah $y=\sqrt{r^2-x^2}$, kita bisa langsung memasukkannya ke dalam integral, beserta dengan batasnya, yaitu:

\[\begin{align*} S &= \int_{-r}^r \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\;dx\\ &= \int_{-r}^r \sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx}\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)\right)^2}\;dx\\ &= \int_{-r}^r \sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx}\left((r^2-x^2)^{1/2}\right)\right)^2}\;dx\\ &= \int_{-r}^r \sqrt{1 + \left(\frac{-x}{(r^2-x^2)^{1/2}}\right)^2}\;dx\\ &= \int_{-r}^r \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2-x^2}}\;dx\\ &= \int_{-r}^r \sqrt{\frac{r^2-x^2 + x^2}{r^2-x^2}}\;dx\\ &= \int_{-r}^r \sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}\;dx\\ &= \int_{-r}^r \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\;dx\\ &= r\int_{-r}^r \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}}\;dx\\ &= r\arcsin\left(\frac{x}{r}\right)\bigg|_{-r}^r\\ &= r\left[\arcsin\left(\frac{r}{r}\right) - \arcsin\left(\frac{-r}{r}\right)\right]\\ &= r(\pi - (-\pi))\\ &= r(2\pi)\\ &= 2\pi r \end{align*}\]

Terbukti bahwa keliling lingkaran adalah $2\pi r$.