Injektif Surjektif

Soal:

Tentu, berikut adalah contoh soal untuk membuktikan bahwa suatu transformasi linear $ T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ adalah transformasi linear. Selanjutnya, kita akan membuktikan bahwa $ T $ bersifat injektif dan surjektif.

Diberikan transformasi linear $ T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ yang didefinisikan sebagai berikut:

\[T \left( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{bmatrix}\]

a. Buktikan bahwa $ T $ adalah transformasi linear. b. Buktikan bahwa $ T $ bersifat injektif. c. Buktikan bahwa $ T $ bersifat surjektif.

Jawaban:

a. Transformasi Linear:

Untuk membuktikan bahwa $ T $ adalah transformasi linear, kita perlu menunjukkan bahwa $ T(u + v) = T(u) + T(v) $ dan $ T(cu) = cT(u) $ untuk setiap $ u, v \in \mathbb{R}^2 $ dan $ c \in \mathbb{R} $.

Mari kita hitung:

\[T \left( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} \right) = T \left( \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2(x_1 + x_2) + 3(y_1 + y_2) \\ 4(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) \end{bmatrix}\]

dan

\[T \left( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} \right) + T \left( \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2x_1 + 3y_1 \\ 4x_1 - y_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2x_2 + 3y_2 \\ 4x_2 - y_2 \end{bmatrix}\]

Sekarang, kita bisa verifikasi bahwa keduanya sama. Demikian juga, untuk $ T(cu) $.

a. Injektif:

Untuk membuktikan bahwa $ T $ bersifat injektif, perlu ditunjukkan bahwa $ \text{Ker}(T) = { \mathbf{0} } $, yang berarti kernel dari $ T $ hanya berisi vektor nol.

Cari $ \text{Ker}(T) $ dengan mencari solusi dari $ T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} $, di mana $ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} $:

\[\begin{bmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

Dari sini, kita dapat membentuk sistem persamaan:

\[\begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ 4x - y = 0 \end{cases}\]

Solusi dari sistem ini adalah $ x = 0 $ dan $ y = 0 $, yang menyatakan bahwa $ \text{Ker}(T) = { \mathbf{0} } $. Sehingga, $ T $ bersifat injektif.

b. Surjektif:

Untuk membuktikan bahwa $ T $ bersifat surjektif, perlu ditunjukkan bahwa setiap vektor di $ \mathbb{R}^2 $ dapat dihasilkan oleh $ T $, atau dengan kata lain, $ \text{Im}(T) = \mathbb{R}^2 $.

Ambil vektor umum di $ \mathbb{R}^2 $, misalnya $ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} $. Pertanyaannya, apakah terdapat vektor $ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} $ sedemikian sehingga $ T(\mathbf{v}) = \mathbf{u} $?

Cari $ \mathbf{v} $ dengan menyelesaikan sistem persamaan:

\[\begin{bmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\]

Ini menghasilkan sistem persamaan:

\[\begin{cases} 2x + 3y = a \\ 4x - y = b \end{cases}\]

Dengan manipulasi sederhana, kita dapat menyelesaikan sistem ini dan mendapatkan $ \mathbf{v} $. Oleh karena itu, $ T $ bersifat surjektif.

Demikianlah, kita telah membuktikan bahwa $ T $ adalah transformasi linear, injektif, dan surjektif.